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己知函数f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1y1),N(x2y2)
是f(x)图象点的两点,横坐标为
1
2
的点P是M,N的中点.
(1)求证:y1+y2的定值;
(2)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)(n∈N*,n≥2),求Sn

(3)设an=
1
4(Sn+1+1)(Sn+2+1)+1
,Tn为数列{an}前n项和,证明:Tn
17
52
分析:(1)由已知可得,x1+x2=1,代入利用对数的运算性质即可求解
(2)由(1)可得,f(x1)+f(x2)=1,利用倒序求和即可求解
(3)由an=
1
4(Sn+1+1)(Sn+2+1)+1
=
1
(n+2)(n+3)+1
1
(n+2)(n+3)
=
1
n+2
-
1
n+3
,利用裂项求和即可证明
解答:解:(1)由已知可得,x1+x2=1
∴y1+y2=log3
3
x1
1-x1
+log3
3
x2
1-x2
=log3
3x1x2
1-(x1+x2)+x1x2
=1
(2)由(1)可得,f(x1)+f(x2)=1
Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)

Sn=f(
n-1
n
)+f(
n-2
n
)+…+f(
1
n
)

∴2Sn=
n-1
2
×2
Sn=
n-1
2

(3)∵an=
1
4(Sn+1+1)(Sn+2+1)+1
=
1
(n+2)(n+3)+1
1
(n+2)(n+3)
=
1
n+2
-
1
n+3

Tn=a1+
1
4
-
1
5
+
1
5
-
1
6
+…+
1
n+2
-
1
n+3
1
13
+
1
4
-
1
n+3
17
52
点评:本题主要考查了倒序相加求和方法、裂项求和方法的简单应用,解题的关键是灵活利用函数关系
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(II)当曲线y = f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.

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