Question

已知椭圆C与双曲线x²-y²=1共焦点，且下顶点到直线x+y-2=0的距离为

3 2

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若一直线l₂：y=kx+m与椭圆C相交于A、B（A、B不是椭圆的顶点）两点，以AB为直径的圆过椭圆的上顶点，求证：直线l₂过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析：（1）因为椭圆C与双曲线x²-y²=1共焦点，所以可根据双曲线的焦点坐标求出椭圆中的c值，再根据下顶点到直线x+y-2=0的距离为

3 2

2

，可求出b的值，利用a，b，c的关系式，就可得到a的值，这样椭圆C的方程可得．
（2）把y=kx+m与（10中求出的椭圆方程联立，求出x₁+x₂，x₁x₂，y₁+y₂，y₁y₂，再根据以AB为直径的圆过椭圆的上顶点，所以AQ⊥BQ，求出m的值，就可判断出直线l₂过定点，根据点斜式，求出该定点的坐标．

解答：解：（1）∵双曲线x2-y2=1的焦点为F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)
∴椭圆C的焦点为F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)
设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由题意得

|-b-2|

2

=

3 2

2

，解得b=1．∴a=

3

．
∴椭圆的方程为

x2

3

+y2=1．
（2）椭圆的上顶点为Q（0，1），
由方程组

y=kx+m x2 3 +y2=1

得

x2

3

+(kx+m)2=1，
即(

1

3

+k2)x2+2kmx+m2-1=0
∵直线l₂：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点，
∴△=4k2m2-4(

1

3

+k2)(m2-1)=4(k2-

1

3

m2+

1

3

)＞0，
即3k²-m²+1＞0．
设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则x1+x2=-

6km

1+3k2

，x1x2=

3(m2-1)

1+3k2

，
∴y1+y2=k(x1+x2)+2m=

2m

1+3k2

，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=

3k2(m2-1)

1+3k2

-

6k2m2

1+3k2

+m2=

m2-3k2

1+3k2

．
∵以AB为直径的圆过椭圆的上顶点Q（0，1），
∴AQ⊥BQ，∴x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=0，
即x₁x₂+y₁y₂-（y₁+y₂）+1=0
∴

3(m2-1)

1+3k2

+

m2-3k2

1+3k2

-

2m

1+3k2

+1=0，
化简得2m²-m-1=0，
∴m=1或m=-

1

2

．
当m=1时，直线l₂：y=kx+1过定点Q（0，1），与已知矛盾；
当m=-

1

2

时，满足3k²-m²+1＞0，
此时直线l2：y=kx-

1

2

过定点(0，-

1

2

)，
∴直线l₂过定点(0，-

1

2

)．

点评：本题考查了椭圆方程的求法，以及直线与椭圆位置关系的判断，做题时要认真分析．