Question

已知曲线 y=

1

3

x3+2x-

2

3

．
（1）求曲线在点P（2，6）处的切线方程；
（2）求曲线过点P（2，6）的切线方程．

Answer 1

分析：（1）根据求导公式和法则求出函数的导数，再把x=2代入导函数求出切线的斜率，再代入点斜式化为一般式；
（2）由曲线方程设出切点的坐标，再求出切线的斜率，再把斜率和切点的坐标代入点斜式化简，由切线过点P再把P的坐标代入切线方程，求出切点的横坐标代入切线方程，最后化为一般式．

解答：解：（1）由题意得，y′=x²+2，
∴在点P（2，6）处的切线的斜率k=y′|_x=2=6，
∴在点P（2，6）处的切线方程为：y-6=6（x-2）
即 6x-y-6=0，
（2）设曲线y=

1

3

x3+2x-

2

3

与过点P（2，6）的切线相切于点A(x0，

1

3

x

3 0

+2x0-

2

3

)，
则切线的斜率k=y′|x=x0=

x

2 0

+2，
∴切线方程为y-(

1

3

x

3 0

+2x0-

2

3

)=(

x

2 0

+2)(x-x0)，
即y=(

x

2 0

+2)x-

2

3

x

3 0

-

2

3

  ①，
∵点P（2，6）在切线上，∴6=2(

x

2 0

+2)-

2

3

x

3 0

-

2

3

，
即

x

3 0

-3

x

2 0

+4=0，∴

x

3 0

+

x

2 0

-4

x

2 0

+4=0，
∴

x

2 0

(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0，化简得(x0+1)(x0-2)2=0
解得x₀=-1或x₀=2，代入①得，y=3x或y=6x-6，
故所求的切线方程为3x-y=0，6x-y-6=0．

点评：本题考查了导数的几何意义和“过”、“再”某点处的切线区别，关键是利用某点处的切线的斜率是该点出的导数值，以及切点在曲线上和切线上．