Question

【题目】双曲线 的右焦点为F（2，0），设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为 ，则双曲线的离心率为（ ）
A.4
B.2
C.
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】解：由题意可知：设A（x0 ， y0），B（﹣x0 ， ﹣y0），由右焦点F（2，0），则c=2 ∵以MN为直径的圆过原点O，
∴OM⊥ON，
又∵OM∥BF，ON∥AF，
∴AF⊥BF，
=（2﹣x0 ， ﹣y0）， =（2+x0 ， y0），
∴ =（2﹣x0）（2+x0）﹣y02 ，
∴4﹣x02﹣y02=0，
即x02+y02=4，
由kAB= ，
∴y02= x02 ，
∴x02+ x02=4，
解得：x02= ，y02= ，
代入双曲线方程得： =1，
∴7b2﹣9a2=4a2b2 ， 由b2=c2﹣a2=4﹣a2 ，
∴7（4﹣a2）﹣9a2=4a2（4﹣a2），解得：a2=1或a2=7（舍），
∴a=1，
∴e=2，
故选：B．