分析 设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a,b>0),设直线x=t,代入双曲线的方程,求得P,Q的坐标,A,B的坐标,由于向量的坐标和数量积的坐标表示,计算即可得到离心率.
解答 解:设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a,b>0),
设直线x=t,代入双曲线的方程可得y=±b$\sqrt{\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}-1}$,
由题意可得A(-a,0),B(a,0),P(t,b$\sqrt{\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}-1}$),Q(t,-b$\sqrt{\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}-1}$),
即有$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{AQ}$=(a-t,-b$\sqrt{\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}-1}$)•(a+t,-b$\sqrt{\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}-1}$)
=(a-t)(a+t)+b2($\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}$-1)=a2-t2+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$(t2-a2)=0,
由于t≠a,可得a=b,
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}$=$\sqrt{2}$.
故答案为:$\sqrt{2}$.
点评 本题考查双曲线的离心率的求法,考查向量的数量积的坐标表示,考查运算能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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A. | 当a>0时,f(x)有零点x0,且x0∈(1,2) | B. | 当a>0时,f(x)有零点x0,且x0∈(2,+∞) | ||
C. | 当a=0时,f(x)没有零点 | D. | 当a<0时,f(x)有零点x0,且x0∈(2,+∞) |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | -$\frac{b}{2a}$>0,$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$>0 | B. | -$\frac{b}{2a}$<0,$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$>0 | ||
C. | -$\frac{b}{2a}$>0,$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$<0 | D. | -$\frac{b}{2a}$<0,$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$<0 |
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A. | $\sqrt{5}$ | B. | 2$\sqrt{2}$ | C. | 2 | D. | 1 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{10}$ | B. | $\frac{1}{5}$ | C. | $\frac{1}{4}$ | D. | $\frac{1}{3}$ |
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