Question

已知等式sin²30°+sin²30°+sin²30°•sin²30°=

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，sin²40°+sin²20°+sin²40°•sin²20°=

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（1）观察上述式子的特点，归纳出一般的结论；
（2）证明归纳出的结论．

Answer 1

分析：（1）观察所给的等式，等号左边是sin²30°+sin²30°+sin30°•sin30°、sin²40°+sin²20°+sin40°•sin20°…规律应该是sin²α+sin²（60°-α）+sinαsin（60°-α）；右边的式子：

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4

，写出结果．
（2）sin²α+sin²（60°-α）+sinαsin（60°-α）利用三角函数的差角公式化得sin²α+（sin60°cosα-cos60°sinα）²+sinα（sin60°cosα-cos60°sinα）整理得

3

4

sin²α+

3

4

cos²α，即可得证．

解答：解：（1）观察等式：
sin²30°+sin²30°+sin30°•sin30°=

3

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，sin²40°+sin²20°+sin40°•sin20°=

3

4

，…，
照此规律，可以得到的一般结果应该是
sin²α+sin²（60°-α）+sinαsin（60°-α）=

3

4

，
（2）sin²α+sin²（60°-α）+sinαsin（60°-α）
=sin²α+（sin60°cosα-cos60°sinα）²+sinα（sin60°cosα-cos60°sinα）
=sin²α+

3

4

cos²α+

1

4

sin²α-

3

2

sinαcosα+

3

2

sinαcosα-

1

2

sin²α
=

3

4

sin²α+

3

4

cos²α=

3

4

．得证．

点评：本题考查类比推理，考查对于所给的式子的理解，从所给式子出发，通过观察、类比、猜想出一般规律，该题着重考查了类比的能力．