Question

【题目】如图，∠BAC= ，P为∠BAC内部一点，过点P的直线与∠BAC的两边交于点B，C，且PA⊥AC，AP= ．
（Ⅰ）若AB=3，求PC；
（Ⅱ）求 的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）在△PAB中，由余弦定理知PB2=AP2+AB2﹣2APABcos =3，得PB= =AP， 则∠BPA= ，∠APC= ，
在Rt△APC中，PC= =2 ，
（Ⅱ）因为∠APC=θ，则∠ABP=θ﹣ ，
在Rt△APC中，PC= ，
在△PAB中，由正弦定理知 = ，得PB= ，
于是 + = + = =sinθ，
由题意知 ＜θ＜ ，
故 ＜sinθ＜1，
即 + 的取值范围为（ ，1）
【解析】（Ⅰ）根据余弦定理求出PB的长，再解直角三角形即可求出答案，（Ⅱ）根据正弦定理得PB= ，在Rt△APC中，PC= ，继而得到于是 + =sinθ，根据正弦函数的图象和性质即可求出答案．