Question

7．设正四棱台ABCD-A′B′C′D′中的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长度为2，求这个棱台的高和斜高．

Answer 1

分析 正四棱台ABCD-A′B′C′D′中，作出上、下底的中心O、O′，连结OO′，过O作OE⊥AD，交AD于E，过O′作O′F⊥A′D′，交A′D′于F，过E作EK⊥O′F，交O′F于K，高h=OO'=EK，斜高 h'=EF=DH，由此能求出结果．

解答 解：∵正四棱台ABCD-A′B′C′D′中的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长度为2，
∴如图：正四棱台ABCD-A′B′C′D′中，
作出上、下底的中心O、O′，连结OO′，
过O作OE⊥AD，交AD于E，过O′作O′F⊥A′D′，交A′D′于F，
过E作EK⊥O′F，交O′F于K，
则高h=OO'=EK，
斜高 h'=EF=DH，HD′=$\frac{4-2}{2}$=1=KF，
斜高 h'=EF=DH=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
高h=OO'=EK=$\sqrt{E{F}^{2}-F{K}^{2}}$=$\sqrt{3-1}$=$\sqrt{2}$．
∴这个棱台的高为$\sqrt{2}$，斜高为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正四棱台的高和斜高的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意正四棱台的结构特征的合理运用．