Question

在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”如下：
当a≥b时，a⊕b=a；
当a＜b时，a⊕b=b²．
则函数f(x)=(1⊕x)?x-(2⊕x)lnx (x∈(0，2])有（　　）（“•”和“-”仍为通常的乘法和减法）

A．最大值为8-2ln2，无最小值

B．最大值为8-2ln2，最小值为1

C．无最大值，无最小值

D．无最大值，最小值为1

Answer 1

分析：首先认真分析找出规律，可以先分别求得（1⊕x）•x和（2⊕x），再求f（x）=（1⊕x）•x-（2⊕x）lnx的表达式．然后求出其最大值即可．

解答：解：∵x∈（0，2]，∴2≥x，故2⊕x=2，
当x∈（0，1]时，1≥x，1⊕x=1；当x∈（1，2]时，1＜x，1⊕x=x²
故f（x）=（1⊕x）?x-（2⊕x）lnx（x∈（0，2]）=

x-2lnx     x∈(0，1] x3-2lnx     x∈(1，2]

设函数p（x）=x-2lnx，x∈（0，1]，q（x）=x³-2lnx，x∈（1，2]
由p′（x）=1-

2

x

＜0可得p（x）=x-2lnx，x∈（0，1]，单调递减，故f（1）=1为最小值，无最大值；
同理，q′（x）=3x2-

2

x

＞0可得 q（x）=x³-2lnx，x∈（1，2]单调递增，
故g（2）=8-2ln2为最大值，无最小值，而且8-2ln2＞1．
综上可得，f（x）在（0，2]上无最大值，有最小值1
故选D．

点评：此题主要考查新定义下的函数最值问题，解决此类问题时，主要是看懂新定义写出函数的解析式．