Question

过x轴上的动点A（a，0）引抛物线y=x²+1的两切线AP，AQ．P，Q为切点．
（I）求切线AP，AQ的方程；
（Ⅱ）求证直线PQ过定点；
（III）若a≠0，试求

S△APQ

|OA|

的最小值．

Answer 1

分析：（I）设切点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由题意可得，KAP=

y1

x1-a

=

x 2 1 +1

x1-a

，由导数的几何意义可得，K_AP=2x₁

x 2 1 +1

x1-a

=2x1，解方程可得切点，进而可求切线方程
（II）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由题知y₁=2x₁a+2，y₂=2x₂a+2，可知直线PQ的方程是y=2ax+2，直线PQ过定点（0，2）．
（Ⅲ）要使

S△APQ

| PQ |

最小，就是使得A到直线PQ的距离最小，而A到直线PQ的距离d=

2a2+2

4a2+1

=

1

2

(

4a2+1+3

4a2+1

)=

1

2

(

4a2+1

+

3

4a2+1

)≥

3

．由引入手能够推导出

AQ

•

AP

的最小值

解答：解：（I）设切点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由题意可得，KAP=

y1

x1-a

=

x 2 1 +1

x1-a

，由导数的几何意义可得，K_AP=2x₁
∴

x 2 1 +1

x1-a

=2x1
整理可得x₁²-2ax₁-1=0，同理可得x₂²-2ax₂-1=0
从而可得x₁，x₂是方程x²-2ax-1=0的两根
∴x=a±

1+a2

，KAP=2(a+

1+a2)

，KAQ=2(a-

1+a2

)
故可得切线AP方程为：y=2(a+

1+a2

)(x-a)，切线AQ的方程y=2(a-

1+a2

)(x-a)
（II）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由于y'=2x，故切线AP的方程是：y-y₁=2x₁（x-x₁）
则-y₁=2x₁（a-x₁）=2x₁a-2x₁²=2x₁a-2（y₁-1）
∴y₁=2x₁a+2，
同理y₂=2x₂a+2
则直线PQ的方程是y=2ax+2，则直线PQ过定点（0，2）
（Ⅲ）联立

y=2ax+2 y=x2+1

可得x²-2ax-1=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
，则x₁+x₂=2a，x₁x₂=-1
∴PQ=

1+4a2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+4a2

•

4a2+4

点A（a，0）到直线PQ的距离d=

|2a2+2|

1+4a2

∴S△APQ=

1

2

PQ•d=

1

2

•

2|a2+1|

1+4a2

•

1+4a2

•

4a2+4

=2(1+a2)

1+a2

∴

S△APQ

|OA|

=

2(1+a2) 1+a2

|a|

令

1+a2

=t则t＞1
F（t）=

2t3

t2-1

，则令g（t）=F²（t）=

4t6

t2-1

（t＞1）
g′(t)=

12t5(t2-1)-2t6( t2-1)′

(t2-1)2

=

2t5(5t2-12)

(t2-1)2

（t＞1）
当t＞ 

12 5

时，函数g（t）单调递增，即F（t）单调递增
当1＜t＜

12 5

时，函数g（t）单调递减，即F（t）单调递减
∴当t=

12 5

时，函数F（t）有最小值

48 21

35

即

S△APQ

|OA|

的最小值

48 21

35

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系．解决这一类型题目的常用做法是把直线方程与圆锥曲线方程联立，再结合根于系数的关系求出交点坐标之间的关系．