Question

11．在△ABC中，AB=BC，∠B=90°，M为BC的中点，BN⊥AM，且交AC于点N，用解析法证明：∠CMN=∠BMA．

Answer 1

分析 以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立平面直角坐标系，设A坐标（0，2），则B坐标（2，0），M坐标（1，0），画出相应的图象，分别求出直线AM，AC，BN的直线方程，求出点N的坐标，根据三角函数值即可证明．

解答 证明：以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立平面直角坐标系，
设A坐标（0，2），则B坐标（2，0），M坐标（1，0），
设直线AM方程为y=kx+b，把A、M代入得：y=-2x+2，
同样解得AC方程为y=-x+2，
∵BN⊥AM，
∴直线BN的斜率为$\frac{1}{2}$且过原点，即BN方程为y=$\frac{1}{2}$x，
联立AC和BN得方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，
解得点N坐标为（$\frac{4}{3}$，$\frac{2}{3}$），
tanCMN=$\frac{\frac{4}{3}}{\frac{2}{3}}$=2，tanBMA=$\frac{2}{1}$=2，
∴∠CMN=∠BMA．

点评 本题借助于平面直角坐标系，利用解析法证明角相等的问题，关键是建立坐标系，构造点的坐标，属于中档题．