Question

对于函数f（x）=-2cosx，x∈[0，π]与函数g(x)=

1

2

x2+lnx有下列命题：
①函数f（x）的图象不管怎样平移所得图象对应的函数都不会是奇函数；
②方程g（x）=0没有零点；
③函数f（x）和函数g（x）图象上存在平行的切线；
④若函数f（x）在点P处的切线平行于函数g（x）在点Q处的切线，则直线PQ的斜率为

1

2-π

．
其中正确的是

③④

（把所有正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析：①函数向左平移

π

2

个单位所得的为奇函数；
②求导函数，可得函数g（x）在定义域内为增函数，利用零点存在定理，可得函数g（x）在（e^-1，1）上有且只有一个零点；
③根据f′（x）=2sinx≤2，g′（x）=x+

1

x

≥2，可得函数f（x）和函数g（x）图象上存在平行的切线；
④要使函数f（x）在点P处的切线平行于函数g（x）在点Q处的切线只有f'（x）=g'（x）=2，故可得结论．

解答：解：①函数向左平移

π

2

个单位所得的为奇函数，故①错；
②求导函数g′（x）=x+

1

x

≥2，所以函数g（x）在定义域内为增函数，
∵g（e^-1）=

1

2e2

-1＜0，g（1）=

1

2

＞0，∴函数g（x）在（e^-1，1）上有且只有一个零点，②错误；
③因为f′（x）=2sinx≤2，g′（x）=x+

1

x

≥2，所以函数f（x）和函数g（x）图象上存在平行的切线，③正确；
④要使函数f（x）在点P处的切线平行于函数g（x）在点Q处的切线只有f'（x）=g'（x）=2，这时P（

π

2

，0），Q（1，

1

2

），所以直线PQ的斜率为

1

2-π

，④也正确
故答案为：③④

点评：本题以命题为载体，考查命题的真假，考查导数知识的运用，考查零点存在定理，知识综合性强．