考点:二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定
专题:空间位置关系与距离,空间角
分析:(Ⅰ)以C为原点,CA为x轴,CB为y轴,CC
1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出当点D为AA
1中点时,CD⊥平面B
1C
1D.
(Ⅱ)当AD=2
时,求出平面CDB
1的法向量和平面DCC
1的法向量,由此利用向量法能求出二面角B
1-DC-C
1的大小.
解答:
解:(Ⅰ)以C为原点,CA为x轴,CB为y轴,CC
1为z轴,
建立空间直角坐标系,
由题意得BC=BB
1=4,tan∠BAC=
=2,∴AC=2,
设AD=t,0≤t≤4时,CD⊥平面B
1C
1D,
则C(0,0,0),D(2,0,t),B
1(0,4,4),C
1(0,0,4),
=(2,0,t),
=(0,4,0),
=(2,0,t-4),
则
,解得t=2,
∴当点D为AA
1中点时,CD⊥平面B
1C
1D.
(Ⅱ)当AD=2
时,D(2,0,2
),C(0,0,0),
B
1(0,4,4),
=(2,0,2
),
=(0,4,4),
设平面CDB
1的法向量为
=(x,y,z),
,取y=1,得
=(
,1,-1),
又平面DCC
1的法向量
=(0,1,0),
设二面角B
1-DC-C
1的平面角为θ,
cosθ=|cos<
,>|=|
|=
,∴θ=
,
∴二面角B
1-DC-C
1的大小为
.
点评:本题考查直线与平面垂直的证明,考查二面角的大小的求法,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.