Question

10．△ABC三内角为A，B，C，若关于x的方程x²-xcosAcosB-cos²$\frac{C}{2}$=0有一根为1，则△ABC的形状是等腰三角形．

Answer 1

分析 先把1代入方程，然后利用余弦的二倍角化简整理，最后利用两角和公式求得cos（A-B）=1推断出A=B，则可知三角形的形状．

解答 解：依题意可知1-cosAcosB-cos²$\frac{C}{2}$=0，
∵cos²$\frac{C}{2}$=$\frac{cosC+1}{2}$=$\frac{1-cos（A+B）}{2}$=$\frac{1-cosAcosB+sinAsinB}{2}$，
∴1-cosAcosB-$\frac{1-cosAcosB+sinAsinB}{2}$=0，整理得cos（A-B）=1
∴A=B，
∴三角形为等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．

点评 本题主要考查了解三角形和三角形的形状判断．解三角形常与三角函数的性质综合考查，应注意积累三角函数的基本公式，属于基本知识的考查．