Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=

2

，∠CDA=45°．
（I）求证：平面PAB⊥平面PAD；
（II）设AB=AP．
（i）若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长；
（ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由．

Answer 1

分析：（I）根据线面垂直的定义可得PA⊥AB，再结合DA⊥AB得到AB⊥平面PAD，最后根据平面与平面垂直的判定定理可得平面PAB与平面PAD垂直；
（II）（i）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，根据已知数据设出B、P、E、C、D的坐标，用法向量的方法结合数量积计算公式，可得线段AB的长；
（ii）先假设存在点G满足条件，再通过计算GB之长，与GD长加以比较，得出GB＞GD，与已知条件GB=GD=1矛盾，故不存在满足条件的点G．

解答：解：（I）证明：∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD
∴PA⊥AB
又∵AB⊥AD，PA∩AD=A
∴AB⊥平面PAD
又∵AB?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD
（II）（i）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A-xyz（如图）
在平面ABCD内，作CE∥AB交于点E，
则CE⊥AD                                                   
在Rt△CDE中，DE=CD•cos45°=1，
             CE=CD•sin45°=1
设AB=AP=t，则B（t，0，0），P（0，0，t）
由AB+AD=4，得AD=4-t，
所以E（0，3-t，0），C（1，3-t，0），D（0，4-t，0）

CD

=(-1，1，0)，

PD

=(0，4-t，-t)
设平面PCD的法向量为

n

=（x，y，z）
由

n

⊥

CD

，

n

⊥

PD

，得

-x+y=0 (4-t)y-tz=0

取x=t，得平面PCD的一个法向量为

n

=(t，t，4-t)
又

PB

=(t，0，-t)，故由直线PB与平面PCD所成的角为30°得
cos（90°-30°）=

1

2

=

| n • PB |

|n |•| PB |

即

|2t2-4t|

t2+0+(-t)2 t2+t2+(4-t)2

=

1

2

解得t=

4

5

或t=4（舍去，因为AD=4-t＞0）
所以AB=

4

5

（ii）假设在线段AD上存在一个点G到P、B、C、D的距离都相等
由GC=GD，得∠GCD=∠GDC=45°                                  
从而∠CGD=90°，即CG⊥AD
所以GD=CD•cos45°=1
设AB=λ，则AD=4-λ，AG=AD-GD=3-λ
在Rt△ABG中，
GB=

AB2+AG2

=

λ2+(3-λ)2

=

2(λ - 3 2 )2+ 9 2

＞1
这GB=GD与矛盾．
所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到B、C、D的距离都相等．
从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P、B、C、D的距离都相等．

点评：本小题主要考查空间中的线面关系，考查面面垂直的判定及线面角的计算，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力，考查转化思想，属于中档题．