Question

已知函数f（x）=x+

α

x

+lnx（α∈R）
（1）求函数f（x）的单调区间与极值点；
（2）若对?α∈[

1

e

，2e²]，函数f（x）满足对?∈[l，e]都有f（x）＜m成立，求实数m的取值范围（其中e是自然对数的底数）．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）f′（x）=1-

a

x2

+

1

x

=

x2+x-a

x2

(x＞0)，对a分类讨论：a≤0时，a＞0，研究函数的单调性极值即可；
（2）函数f（x）满足：?a∈[

1

e

，2e²]，函数f（x）满足对?x∈[l，e]都有f（x）＜m成立，?f（x）_max＜m．利用（1）的结论与函数f（x）的单调性即可得出．

解答： 解：（1）f′（x）=1-

a

x2

+

1

x

=

x2+x-a

x2

(x＞0)，
①a≤0时，f′（x）≥0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
此时函数f（x）无极值点；
②a＞0，令f′（x）=0，解得x1=

1+4a -1

2

(x2=

-1- 1+4a

2

舍去)，
当0＜x＜x₁时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，x₁）上单调递减；
当x＞x₁时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（x₁，+∞）上单调递增；
即f（x）在(0，

1+4a -1

2

)上单调递减，在(

1+4a -1

2

，+∞)上单调递增，
此时函数f（x）仅有极小值点x₁=

1+4a -1

2

．
（2）函数f（x）满足：?a∈[

1

e

，2e²]，函数f（x）满足对?x∈[l，e]都有f（x）＜m成立，?f（x）_max＜m．
由（1）知：：?a∈[

1

e

，2e²]，f（x）在(0，

1+4a -1

2

)上单调递减，在(

1+4a -1

2

，+∞)上单调递增，
∴

f(1)＜m f(e)＜m

，即

1+a＜m e+ a e +1＜m

，
对?a∈[

1

e

，2e²]，f（x）＜m成立恒成立，
∴

m＞1+2e2 m＞3e+1

又1+2e²＜3e+1，
故实数m的取值范围是（1+2e²，+∞）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．