Question

（2010•成都一模）已知函数f（x）=（c^x-a）²-2x，a∈R，e为自然对数的底数．
（I）求函数f（x）的单调增区间；
（II）证明：对任意x∈[0，

1

2

)，恒有1+2x≤e2x≤

1

1-2x

成立；
（III）当a=0时，设g(n)=

1

n

[f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)]，n∈N*，证明：对ε∈（0，1），当n＞

e2-2

ε

时，不等式

e2-3

2

-g(n)＜ε总成立．

Answer 1

分析：（I）求导函数，令f′（x）＞0，解得f（x）的单调增区间；
（II）当x∈（-∞，0）时，h（x）=e^2x-2x是减函数；当x∈[0，+∞）时，h（x）=e^2x-2x是增函数，从而h（x）≥h（0），进而可证对任意x∈[0，

1

2

)，恒有1+2x≤e2x≤

1

1-2x

成立；
（III）当a=0时，得f（x）=e^2x-2x，从而g(n)=

1

n

[f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)]=

1

n

•

e2-1

e 2 n -1

-1+

1

n

，可证

e2-3

2

-g(n)≤

e2-2

n

，根据当n＞

e2-2

ε

时，

e2-2

n

＜ε，可得当n＞

e2-2

ε

时，不等式

e2-3

2

-g(n)＜ε总成立

解答：（I）解：f′（x）=2e^x（e^x-a）-2=2（e^2x-ae^x-1）
令f′（x）＞0，解得x＞ln

a+ a2+4

2

∴f（x）的单调增区间是(ln

a+ a2+4

2

，+∞)
（II）证明：由（I）知，当x∈（-∞，0）时，h（x）=e^2x-2x是减函数；当x∈[0，+∞）时，h（x）=e^2x-2x是增函数；
∴h（x）≥h（0）
∴e^2x-2x≥1
∴e^2x≥2x+1
x∈[0，

1

2

)时，∴e^-2x≥-2x+1＞0
∴e2x≤

1

1-2x

∴对任意x∈[0，

1

2

)，恒有1+2x≤e2x≤

1

1-2x

成立；
（III）证明：当a=0时，得f（x）=e^2x-2x
∴g(n)=

1

n

[f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)]
=

1

n

[(1+e

2

n

+e

4

n

+…+e

2(n-1)

n

)-(

2

n

+

4

n

+…+

2(n-1)

n

)]
=

1

n

•

e2-1

e 2 n -1

-1+

1

n

∵ε∈（0，1），∴当n＞

e2-2

ε

时，

1

n

∈(0，

1

2

)
由（II）知，1＜e

2

n

≤

1

1- 2 n

，0＜e

2

n

-1≤

2

n-2

∴

1

e 2 n -1

≥

n

2

-1
∴

e2-1

e 2 n -1

≥(

n

2

-1)(e2-1)
∴

1

n

•

e2-1

e 2 n -1

≥(

1

2

-

1

n

)(e2-1)
∴

1

n

•

e2-1

e 2 n -1

-1+

1

n

≥(

1

2

-

1

n

)(e2-1)-1+

1

n

∴g(n)≥

e2-3

2

-

e2-2

n

∴

e2-3

2

-g(n)≤

e2-2

n

∴当n＞

e2-2

ε

时，

e2-2

n

＜ε
∴当n＞

e2-2

ε

时，不等式

e2-3

2

-g(n)＜ε总成立

点评：本题以函数为载体，考查导数法求函数的单调区间，考查不等式的证明，解题的关键是充分利用函数的单调性，难度较大．