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【题目】已知函数.

1)当时,试判断函数的极值情况,并说明理由;

2)若有两个极值点.

①求实数的取值范围;

②证明:.注:是自然对数的底数)

【答案】1)函数无极值;(2)①;②证明见详解

【解析】

1)把代入函数解析式,求出函数的导函数,把导函数二次求导,求出导函数的最大值,得到导函数的最大值小于,从而可得原函数在实数集上的减函数,进而可判断函数的极值情况.

2)①把函数有两个极值点转化为其导函数有两个零点,该函数先减后增有极小值,然后根据图像的交点情况得到的范围;②由是原函数的导函数的根,把代入导函数解析式,用表示,然后把的表达式中的替换,得到关于的函数式后再利用求导判断单调性,从而得到要证的结论.

1)当时,

时,

时,

时,

函数上为增函数,在上为减函数,

恒成立,所以上为减函数,

故函数无极值.

2)①由

所以

有两个极值点,则是方程的两根,

故方程有两个根

又因为显然不是该方程的根,所以方程,有两个根,

,得

时,单调递减.

时,

时,单调递减.

时,单调递增,

要使方程有两个根,需

故实数的取值范围为.

②证明:由,得

上单调递减,

,即.

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②若

③若

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新旧个税政策下每月应纳税所得额(含税)计算方法及其对应的税率表如下:

旧个税税率表(个税起征点3500)

新个税税率表(个税起征点5000)

缴税级数

每月应纳税所得额(含税)=收入-个税起征点

税率(%)

每月应纳税所得额(含税)=收入-个税起征点-专项附加扣除

税率(%)

1

不超过1500元部分

3

不超过3000元部分

3

2

超过1500元至4500元部分

10

超过3000元至12000元部分

10

3

超过4500元至9000元的部分

20

超过12000元至25000元的部分

20

4

超过9000元至35000元的部分

25

超过25000元至35000元的部分

25

5

超过35000元至55000元部分

30

超过35000元至55000元部分

30

···

···

···

···

···

随机抽取某市1000名同一收入层级的从业者的相关资料,经统计分析,预估他们2019年的人均月收入24000.统计资料还表明,他们均符合住房专项扣除;同时,他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子,并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是2:1:1:1;此外,他们均不符合其他专项附加扣除.新个税政策下该市的专项附加扣除标准为:住房1000/,子女教育每孩1000/,赡养老人2000/月等。

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