Question

15．求函数y=lg（sin²x+2cosx+2）在$x∈[{-\frac{π}{6}\;，\;\;\frac{2π}{3}}]$上的最大值lg4，最小值lg$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 根据同角的三角函数的关系式，结合一元二次函数的性质求出t=sin²x+2cosx+2的取值范围，结合对数单调性的性质进行求解即可．

解答 解：sin²x+2cosx+2=1-cos²x+2cosx+2=-（cosx-1）²+4，
∵$x∈[{-\frac{π}{6}\;，\;\;\frac{2π}{3}}]$，∴cosx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
则当cosx=1时，sin²x+2cosx+2取得最大值4，
当cosx=-$\frac{1}{2}$时，sin²x+2cosx+2取得最小值$\frac{7}{4}$，即当$x∈[{-\frac{π}{6}\;，\;\;\frac{2π}{3}}]$时，函数有意义，
设t=sin²x+2cosx+2，则$\frac{7}{4}$≤t≤4，
则lg$\frac{7}{4}$≤lgt≤lg4，
即函数的最大值为lg4，最小值为lg$\frac{7}{4}$，
故答案为：lg4，lg$\frac{7}{4}$

点评 本题主要考查函数最值的求解，根据复合函数单调性的关系结合一元二次函数和对数函数的单调性的性质是解决本题的关键．