Question

【题目】在平面直角坐标系中，曲线（为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.

（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；

（2）设点在曲线上，点在曲线上，求的最小值及此时点的直角坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）最小值为，此时的直角坐标为

【解析】

（1）根据消去参数，曲线参数方程化为普通方程；曲线极坐标方程展开，代入，即可求出直角坐标方程；

（2）设点，的最小值为点到直线距离的最小值，根据点到直线距离公式，结合辅助角公式，转化为求余弦型函数的最小值，即可求出结论.

（1）由（为参数），

得的普通方程为；

由，得，

即，又由，

得曲线；

（2）由题意，可设点的直角坐标为，

因为是直线，所以的最小值，即为到的距离的最小值，

.

当且仅当时，取得最小值，最小值为，

此时的直角坐标为.