Question

【题目】养正中学新校区内有一块以O为圆心，R（单位：米）为半径的半圆形荒地（如图），校总务处计划对其开发利用，其中弓形BCD区域（阴影部分）用于种植观赏植物，△OBD区域用于种植花卉出售，其余区域用于种植草皮出售。已知种植观赏植物的成本是每平方米20元，种植花卉的利润是每平方米80元，种植草皮的利润是每平方米30元。

（1）设（单位：弧度），用表示弓形BCD的面积

（2）如果该校总务处邀请你规划这块土地。如何设计的大小才能使总利润最大？并求出该最大值

Answer 1

【答案】（1）（2）当扇形的圆心角为时，总利润取得最大值为

【解析】试题分析：（1）由 ，利用扇形及三角形面积公式即得；
（2）由题意列出函数关系式，利用导数判断函数单调性求得最大值即可．

试题解析:

（1）扇形的面积

（2）设总利润为元，种植草皮利润为元，种植花卉利润为元，种植学校观赏植物成本为元。

则

设则，令，得，当时， ， 单调递减；当时， ， 单调递增。

所以当时， 取得极小值，也是最小值为

此时总利润最大，则最大总利润为

所以当扇形的圆心角为时，总利润取得最大值为元