分析 根据题意,画出图形,结合图形,利用平面向量的数量积与余弦定理,求出$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PA}$取最小值时AP=DP,求出P是AD的中垂线和BC的交点,从而求出CP的值和$\frac{CP}{CB}$的值.
解答 解:如图所示,
梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥AB,AD=1,BC=2,AB=3,P是BC上的一个动点,
$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PA}$=|$\overrightarrow{PD}$|•|$\overrightarrow{PA}$|cos∠APD,
△PDA中,由余弦定理得
1=AP2+DP2-2AP•DPcos∠APD=AP2+DP2-2$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PA}$,
∴$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PA}$=$\frac{{AP}^{2}{+DP}^{2}-1}{2}$≥$\frac{2AP•DP-1}{2}$,当且仅当AP=DP,取“=”;
即P是AD的中垂线和BC的交点时,$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PA}$最小;
此时,CP=$\frac{3}{2}$,CB=2,∴$\frac{CP}{CB}$=$\frac{3}{4}$.
故答案为:$\frac{3}{4}$.
点评 本题考查了余弦定理与平面向量的数量积公式以及基本不等式的应用问题,是综合性题目.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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零件的个数 x(个) | 2 | 3 | 4 | 5 |
加工的时间 y(小时) | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | α内有无穷多条直线都与β平行 | |
B. | 直线a∥α,a∥β,且直线a不在α内,也不在β内 | |
C. | α内的任何直线都与β平行 | |
D. | 直线a在α,直线b在β内,且a∥β,b∥α |
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