Question

2．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n+3=3a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₃a_n，T_n=$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$，求证：${T_n}＜\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由已知求出a₁=3，a_n=3a_n-1（n≥2），由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）$\frac{bn}{an}$=$\frac{lo{g}_{3}{3}^{n}}{{3}^{n}}$=n•$（\frac{1}{3}）^{n}$，利用错位相减法能证明${T_n}＜\frac{3}{4}$．

解答 （本题满分12分）
（1）解：当n=1时，2S₁+3=3a₁，∴a₁=3．（1分）
当n≥2时，2S_n+3=3a_n，2S_n-1+3=3a_n-1，
∴2S_n-2S_n-1=3a_n-3a_n-1，（3分）
∴a_n=3a_n-1（n≥2）．
∴数列{a_n}是以3为首项，3为公比的等比数列 （5分）
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=3ⁿ．（6分）
（2）证明：由（1）得$\frac{bn}{an}$=$\frac{lo{g}_{3}{3}^{n}}{{3}^{n}}$=n•$（\frac{1}{3}）^{n}$，（7分）
∴T_n=$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$
=$\frac{1}{3}+2×（\frac{1}{3}）^{2}$+…+（n-1）×（$\frac{1}{3}$）^n-1+n×（$\frac{1}{3}$）ⁿ，①（8分）
∴$\frac{1}{3}$T_n=$（\frac{1}{3}）^{2}+2×（\frac{1}{3}）^{3}+…+$$（n-1）×（\frac{1}{3}）^{n}+n×（\frac{1}{3}）^{n+1}$，②（9分）
由①-②得
$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{1}{3}+（\frac{1}{3}）^{2}+（\frac{1}{3}）^{3}+…+（\frac{1}{3}）^{n}$-n×$（\frac{1}{3}）^{n+1}$
=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$n×（\frac{1}{3}）^{n+1}$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）-n×（\frac{1}{3}）^{n+1}$，（11分）
∴T_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{3+2n}{4×3n}$＜$\frac{3}{4}$．
∴${T_n}＜\frac{3}{4}$．（12分）

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．