【题目】已知椭圆C: 的离心率与双曲线的离心率互为倒数,且过点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过作两条直线与圆相切且分别交椭圆于M、N两点.
① 求证:直线MN的斜率为定值;
② 求△MON面积的最大值(其中O为坐标原点).
【答案】(1)(2)① ②
【解析】试题分析:(1)先求双曲线离心率得椭圆离心率,再将点坐标代入椭圆方程,解方程组得,(2)①先根据点斜式得直线方程,再与椭圆方程联立解得坐标,根据直线与圆相切,得斜率相反,同理可得最后根据斜率公式求斜率,②设直线MN方程,根据原点到直线距离得高,与椭圆方程联立方程组结合韦达定理以及弦长公式得底边边长,最后代入三角形面积公式,利用基本不等式求最值.
试题解析:(1)可得,设椭圆的半焦距为,所以,
因为C过点,所以,又,解得,
所以椭圆方程为.
(2)① 显然两直线的斜率存在,设为, ,
由于直线与圆相切,则有,
直线的方程为, 联立方程组
消去,得,
因为为直线与椭圆的交点,所以,
同理,当与椭圆相交时, ,
所以,而,
所以直线的斜率.
② 设直线的方程为,联立方程组消去得,
所以,
原点到直线的距离,
面积为,
当且仅当时取得等号.经检验,存在(),使得过点的两条直线与圆相切,且与椭圆有两个交点M,N.
所以面积的最大值为.
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【题目】己知椭圆W:+=1(a>b>0),直线:=与轴,轴的交点分别是椭圆W的焦点与顶点。
(1)求椭圆W的方程;
(2)设直线m:=kx(k≠0)与椭圆W交于P,Q两点,过点P(,)作PC⊥轴,垂足为点C,直线交椭圆w于另一点R。
①求△PCQ面积的最大值;②求出∠QPR的大小。
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【题目】(题文)已知等差数列{an}的首项a1≠0,前n项和为Sn,且S4+a2=2S3;等比数列{bn}满足b1=a2,b2=a4.
(1)求证:数列{bn}中的每一项都是数列{an}中的项;
(2)若a1=2,设cn=,求数列{cn}的前n项和Tn;
(3)在(2)的条件下,若有f(n)=log3Tn,求f(1)+f(2)+…+f(n)的最大值.
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【题目】科学研究表明:人类对声音有不的感觉,这与声音的强度单位:瓦平方米有关在实际测量时,常用单位:分贝来表示声音强弱的等级,它与声音的强度I满足关系式:是常数,其中瓦平方米如风吹落叶沙沙声的强度瓦平方米,它的强弱等级分贝.
已知生活中几种声音的强度如表:
声音来源
声音大小 | 风吹落叶沙沙声 | 轻声耳语 | 很嘈杂的马路 |
强度瓦平方米 | |||
强弱等级分贝 | 10 | m | 90 |
求a和m的值
为了不影响正常的休息和睡眠,声音的强弱等级一般不能超过50分贝,求此时声音强度I的最大值.
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【题目】已知函数,的图象两相邻对称轴之间的距离是,若将的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数为奇函数.
(1)求的解析式;
(2)求的对称轴及单调增区间;
(3)若对任意,恒成立,求实数的取值范围.
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【题目】已知数列{an}满足a1=1,an+1=,设bn=,n∈N*。
(1)证明{bn}是等比数列(指出首项和公比);
(2)求数列{log2bn}的前n项和Tn。
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为,(为参数),以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程;
(2)已知曲线交于两点,过点且垂直于的直线与曲线交于两点,求的值.
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【题目】已知椭圆的上顶点为,离心率为. 抛物线截轴所得的线段长为的长半轴长.
(1)求椭圆的方程;
(2)过原点的直线与相交于两点,直线分别与相交于两点
证明:以为直径的圆经过点;
记和的面积分别是,求的最小值.
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