Question

已知a , b都是正数，△ABC在平面直角坐标系xOy内, 以两点A (a ,0 )和B (0,b )为顶点的正三角形，且它的第三个顶点C在第一象限内.

（1）若△ABC能含于正方形D = { ( x , y ) | 0 £ x £ 1, 0£ y £ 1}内， 试求变量 a , b 的约束条件，并在直角坐标系aOb内画出这个约束条件表示的平面区域；

（2）当(a, b )在（1）所得的约束条件内移动时，求△ABC面积S的最大值，并求此时（a , b）的值.（14分）

Answer 1

（14分）

[解析]：解: （1）由题意知：顶点C是分别以A、B为圆心，以|AB|为半径的两圆在第一象限的交点，由圆A: ( x – a)² + y² = a² + b² , 圆B: x² + ( y – b )² = a² + b² .

解得 x = , y = ，∴C（， ）

△ABC含于正方形D内，即三顶点A，B，C含于区域D内时，

∴   

这就是 ( a , b )的约束条件. 其图形为右图的六边形， 

∵a > 0 , b > 0 , ∴图中坐标轴上的点除外．

（2）∵△ABC是边长为的正三角形,∴ S = ( a² + b² )

在（1）的条件下, 当S取最大值等价于六边形图形中的点( a, b )到原点的距离最大,

由六边形中P、Q、R相应的OP、OQ、OR的计算.

OP² = OR² = 1² + ( 2 – )² = 8 – 4，OQ² = 2( – 1)² = 8 – 4.

∴ OP = OR =OQ  ∴当 ( a , b ) = ( 1, 2 –), 或(– 1, – 1), 或( 2 –, 1 )时, S_max =2– 3.