Question

【题目】已知函数f（x）= sin（2x+ ）﹣cos2x+ ．
（Ⅰ）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，f（A）= ，a=3，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）= （ sin2x+ cos2x）﹣ cos2x= （ sin2x+ cos2x）= sin（2x+ ），

由2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z得：kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，

∵x∈[0，π]，

∴函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间为[0， ]，[ ，π]；

（Ⅱ）由f（A）= sin（2A+ ）= 得：sin（2A+ ）= ，

∵0＜A＜π，

∴ ＜2A+ ＜ ，

∴2A+ = ，

∴A= ，

由余弦定理知a2=9=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，

∴bc≤9（当且仅当b=c时等号成立），

∴S= bcsinA≤ ×9× = ，

∴△ABC面积的最大值为

【解析】（Ⅰ）函数f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式，二倍角的余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，利用正弦函数的单调性确定出f（x）在[0，π]上的单调递增区间即可；（Ⅱ）由f（A）的值，确定出A的度数，利用余弦定理求出bc的最大值，进而求出三角形ABC面积的最大值即可．
【考点精析】通过灵活运用正弦函数的单调性和正弦定理的定义，掌握正弦函数的单调性：在上是增函数；在上是减函数；正弦定理:即可以解答此题．