Question

已知|

a

|=2|

b

|≠0，且关于x的函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

|

a

|x2+

a

•

b

x在R上有极值，则

a

与

b

的夹角范围为（　　）

• A、(0，

  π

  6

  )
• B、(

  π

  6

  ，π]
• C、(

  π

  3

  ，π]
• D、(

  π

  3

  ，

  2π

  3

  ]

Answer 1

分析：利用函数的极值的性质是极值点是导函数的根且根左右两边导函数符号相反，得到不等式，利用向量的数量积公式将不等式用向量的模、夹角表示，解不等式求出夹角．

解答：解：∵f(x)=

1

3

x3+

1

2

|

a

|x2+

a

•

b

x在R上有极值
∴f′(x)=x2+|

a

|x+

a

•

b

=0有不等的根
∴△＞0
即

a

2-4

a

•

b

＞0
∴|

a

|2-4|

a

||

b

|cosθ＞0
∵|

a

|=2|

b

|≠0
∴cosθ＜

1

2

∵0≤θ≤π
∴

π

3

＜θ≤π
故选C

点评：本题考查函数在某点取极值的条件：极值点处导数为0且左右两边导函数符号相反、利用向量的数量积公式求向量的夹角．