Question

13、已知数列{a_n}是等差数列，a₁=-9，S₃=S₇，那么使其前n项和S_n最小的n是

5

．

Answer 1

分析：根据S₃=S₇，得到S₇-S₃等于0，利用等差数列的前n项和的定义可知S₇-S₃等于数列的第4项加到第7项，利用等差数列的通项公式分别表示出第4项到第7项，相加等于0列出首项与公差的方程，把首项的值代入即可求出公差d的值，然后根据首项和公差写出等差数列的通项公式，要使前n项和最小，即要找出此数列从哪项开始变为非负数，所以令通项公式小于等于0列出关于n的不等式，求出不等式的解集中的最大正整数解为5，求出第5项发现其值小于0，求出第6项发现其值大于0，所以此数列的前5项为负数，从第6项开始变为正数，即可得到此数列的前5项之和最小．

解答：解：由S₃=S₇，
得到：S₇-S₃=a₄+a₅+a₆+a₇=4a₁+18d=0，
又a₁=-9，代入得：d=2，则a_n=-9+2（n-1）=2n-11，
令2n-11≤0，解得n≤5.5，所以a₅=-1＜0，a₆=1＞0，
则使其前n项和S_n最小的n是5．
故答案为：5

点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，本题的突破点是令通项公式小于等于0列出关于n的不等式．