Question

已知c＞0且c≠1，设p：指数函数y=（2c-1）^x在R上为增函数，q：不等式x+（x-2c）²＞2的解集为R．若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求c的取值范围．

Answer 1

分析：当p为真命题时，c＞1；当q为真命题时，c＞

9

8

．由p∧q为假命题，p∨q为真命题，知p真q假，或p假q真．由此能求出实数c的取值范围．

解答：解：当p为真命题时，
∵函数y=（2c-1）^x在R上为增函数，∴2c-1＞1，
∴当p为真命题时，c＞1；
当q为真命题时，
∵不等式x+（x-2c）²＞2的解集为R，
∴当x∈R时，x²-（4c-1）x+（4c²-2）＞0恒成立，
∴△=（4c-1）²-4××（4c²-2）＜0，
∴-8c+9＜0，
∴当q为真命题时，c＞

9

8

．
∵p∧q为假命题，p∨q为真命题，∴p真q假，或p假q真．
①当p真q假时，

c＞1 c≤ 9 8

，解得1＜c≤

9

8

．
②当p假q真时，

0＜c＜1 c＞ 9 8

，解得c∈∅．
综上所述，实数c的取值范围是（1，

9

8

]．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，解题的关键是由p∧q为假命题，p∨q为真命题，得到p真q假，或p假q真．