Question

3．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+\frac{1}{a}}{x}$（a＞0）
（1）当a=2时，试判断x∈[1，+∞）它的单调性
（2）若x∈（0，1]时，f（x）是减函数，x∈[1，+∞）时，f（x）是增函数，试求a的值及x∈（0，+∞）上f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，x≥1，f′（x）=1-$\frac{1}{2{x}^{2}}$＞0，即可得出结论；
（2）利用f′（1）=0，求a的值；确定f（x）=x+$\frac{1}{x}$+2在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，即可求出x∈（0，+∞）上f（x）的最小值．

解答 解：（1）a=2时，f（x）=x+$\frac{1}{2x}$+2，
x≥1时，f′（x）=1-$\frac{1}{2{x}^{2}}$＞0，
∴函数在[1，+∞）上单调递增；
（2）f（x）=x+$\frac{1}{ax}$+2，
∴f′（x）=1-$\frac{1}{a{x}^{2}}$，
∵x∈（0，1]时，f（x）是减函数，x∈[1，+∞）时，f（x）是增函数，
∴f′（1）=1-$\frac{1}{a}$=0，
∴a=1，
∴f（x）=x+$\frac{1}{x}$+2在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴x=1时，f（x）的最小值为4．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最小值，考查学生分析解决问题的能力，确定函数的单调性是关键．