Question

定义在R上奇函数f（x）满足：f（2）=0，当x＞0时有xf′（x）＜f（x）成立，则不等式x²f（x）＞0的解集为（　　）

A．（-∞，-2）

B．（0，2）

C．（-2，0）∪（2，+∞）

D．（-∞，-2）∪（0，2）

Answer 1

分析：首先根据商函数求导法则，把当x＞0时有xf′（x）＜f（x）成立，转化为

f(x)

x

在（0，+∞）内单调递减；再由f（2）=0，易得f（x）在（0，+∞）内的正负性；最后结合奇函数的图象特征，可得f（x）在（-∞，0）内的正负性．则x²f（x）＞0的解集即可求得．

解答：解：∵当x＞0时，有xf′（x）＜f（x）成立，
∴

xf′(x)-f(x)

x2

＜0恒成立，即[

f(x)

x

]′＜0恒成立，
∴

f(x)

x

在（0，+∞）内单调递减．
∵f（2）=0，
∴在（0，2）内恒有f（x）＞0；在（2，+∞）内恒有f（x）＜0．
又∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴在（-∞，-2）内恒有f（x）＞0；在（-2，0）内恒有f（x）＜0．
又不等式x²f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集．
∴答案为（-∞，-2）∪（0，2）．
故选D．

点评：本题考查不等式的解集的求法，主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系，同时考查了奇偶函数的图象特征．