Question

如图，AB为抛物线y=x²上的动弦，且|AB|=a（a为常数且a≥1），求弦AB的中点M与x轴的最短距离．

Answer 1

设A、M、B三点的纵坐标分别为y₁、y₂、y₃，如图，
A、M、B三点在抛物线准线上的射影分别为A′、M′、B′．
F为抛物线的焦点．连接AA′，MM′，BB′，AF，BF．
由抛物线的定义可知：|AF|=|AA′|=y1+

p

2

=y1+

1

4

，|BF|=y3+

1

4

．
∴y1=|AF|-

1

4

，y3=|BF|-

1

4

．
又M是线段AB的中点，∴y2=

1

2

(y1+y3)=

1

2

(|AF|+|BF|-

1

2

)≥

1

2

(|AB|-

1

2

)=

1

2

(a-

1

2

)．
当且仅当AB过焦点F时，等号成立．
即当定长为a的弦AB过焦点F时，弦AB的中点M与x轴的距离最小，最小值为

1

2

(a-

1

2

)．