【题目】已知二次函数为偶函数且图象经过原点,其导函数的图象过点.
(1)求函数的解析式;
(2)设函数,其中m为常数,求函数的最小值.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:(1)利用待定系数法依题意可设,根据该函数为偶函数可得,根据导函数的图象过点,可得;(2)由(1)可得: 根据二次函数的性质分为, 和三种情形判断其单调性得其最值.
试题解析:(1)因为二次函数经过原点,可设,又因为为偶函数,所以对任意实数,都有,即,所以对任意实数都成立,故.所以, ,又因为导函数的图象过点,所以,解得.所以.
(2)据题意, ,即
① 若,即,当时, ,故在上单调递减;当时, ,故在上单调递减,在上单调递增,故的最小值为.
② 若,即,当时, ,故在上单调递减;当时, ,故在上单调递增,故的最小值为.
③ 若,即,当时, ,故在上单调递减,在上单调递增;当时, ,故在上单调递增,故的最小值为.
综上所述,当时, 的最小值为;当时, 的最小值为;当时, 的最小值为.
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【题目】已知函数.
(1)若函数的最大值为6,求常数的值;
(2)若函数有两个零点和,求的取值范围,并求和的值;
(3)在(1)的条件下,若,讨论函数的零点个数.
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【题目】三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,△ABC是边长为4的等边三角形,D为AB边中点,且CC1=2AB.
(1)求证:平面C1CD⊥平面ABC;
(2)求证:AC1∥平面CDB1;
(3)求三棱锥D﹣CAB1的体积.
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【题目】正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD,且AE⊥平面CDE.
(1)求证:AB∥平面CDE;
(2)求证:平面ABCD⊥平面ADE.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ABC=45°,∠BAC=90°,AD是BC上的高,沿AD把是BC上的△ABD折起,使∠BDC=90°.
(Ⅰ)证明:平面ADB⊥平面BDC;
(Ⅱ)设BD=1,求三棱锥D﹣ABC的表面积.
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【题目】如图,矩形ABCD是某小区户外活动空地的平面示意图,其中AB=50米,AD=100米,现拟在直角三角形OMN内栽植草坪供儿童踢球娱乐(其中,点O为AD的中点,OM⊥ON,点M在AB上,点N在CD上),将破旧的道路AM重新铺设.已知草坪成本为每平方米20元,新道路AM成本为每米500元,设∠OMA=θ,记草坪栽植与新道路铺设所需的总费用为f(θ).
(1)求f(θ)关于θ函数关系式,并写出定义域;
(2)为节约投入成本,当tanθ为何值时,总费用 f(θ)最小?
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【题目】已知函数f(x)对一切x,y∈R都有f(x+y)﹣f(y)=x(x+2y+1)成立,且f(1)=0.
(1)求f(0)的值;
(2)求f(x)的解析式;
(3)已知a∈R,设P:当 时,不等式f(x)+3<2x+a恒成立,Q:当x∈[﹣2,2]时,g(x)=f(x)﹣ax是单调函数,如果记使P成立的实数a的取值的集合为A,使Q成立的实数a的取值的集合为B,求A∩RB.
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【题目】习大大构建的“一带一路”经济带的发展规划已经得到了越来越多相关国家的重视和参与.岳阳市旅游局顺潮流、乘东风,闻讯而动,决定利用旅游资源优势,撸起袖子大干一场.为了了解游客的情况,以便制定相应的策略.在某月中随机抽取甲、乙两个景点各10天的游客数,画出茎叶图如下:
(1)若景点甲中的数据的中位数是125,景点乙中的数据的平均数是124,求的值;
(2)若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据.今从这段时期内任取4天,记其中游客数超过120人的天数为,求概率;
(3)现从上图的共20天的数据中任取2天的数据(甲、乙两景点中各取1天),记其中游客数不低于115且不高于125人的天数为,求的分布列和期望.
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