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【题目】选修4﹣1:几何证明选讲
如图,AB为⊙O直径,直线CD与⊙O相切与E,AD垂直于CD于D,BC垂直于CD于C,EF垂直于F,连接AE,BE.证明:

(1)∠FEB=∠CEB;
(2)EF2=ADBC.

【答案】
(1)证明:∵直线CD与⊙O相切于E,∴∠CEB=∠EAB.

∵AB为⊙O的直径,∴∠AEB=90°.

∴∠EAB+∠EBA=90°.

∵EF⊥AB,∴∠FEB+∠EBF=90°.

∴∠FEB=∠EAB.

∴∠CEB=∠EAB.


(2)证明:∵BC⊥CD,∴∠ECB=90°=∠EFB,

又∠CEB=∠FEB,EB公用.

∴△CEB≌△FEB.

∴CB=FB.

同理可得△ADE≌△AFE,∴AD=AF.

在Rt△AEB中,∵EF⊥AB,∴EF2=AFFB.

∴EF2=ADCB.


【解析】(1)直线CD与⊙O相切于E,利用弦切角定理可得∠CEB=∠EAB.由AB为⊙O的直径,可得∠AEB=90°.又EF⊥AB,利用互余角的关系可得∠FEB=∠EAB,从而得证.(2)利用(1)的结论及∠ECB=90°=∠EFB和EB公用可得△CEB≌△FEB,于是CB=FB.同理可得△ADE≌△AFE,AD=AF.在Rt△AEB中,由EF⊥AB,利用射影定理可得EF2=AFFB.等量代换即可.

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60

90

20

90

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合计

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