Question

（2013•广州二模）设a_n是函数f（x）=x³+n²x-1（n∈N⁺）的零点．
（1）证明：0＜a_n＜1；
（2）证明：

n

n+1

＜a1+a2+…+an＜

3

2

．

Answer 1

分析：（1）先计算f（0）＜0，f（1）＞0，且f（x）在R上的图象是一条连续曲线，根据零点存在定理得f（x）在（0，1）内有零点，再根据其导数为正，得出f（x）在（0，1）上是增函数，f（x）在（0，1）内只有一个零点，而a_n是函数f（x）=x³+n²x-1（n∈N⁺）的零点，从而证明出0＜a_n＜1；
（2）分两部分进行证明．先证明左边的不等式，由（1）知0＜a_n＜1，得a_n＞

1

n2+1

，利用放缩法及裂项法可得a₁+a₂+…+a_n＞1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=

n

n+1

；再证明右边的不等式，由于a_n=

1- a 2 n

n2

＜

1

n2

，当n≥2时，可得a₁+a₂+…+a_n＜

3

4

+

1

22

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

=1+

1

2

-

1

n

＜

3

2

．综上可得

n

n+1

＜a1+a2+…+an＜

3

2

．

解答：解：（1）∵f（0）=-1＜0，f（1）=n²＞0，且f（x）在R上的图象是一条连续曲线，
∴f（x）在（0，1）内有零点，
∵f′（x）=3x²+n²＞0，∴f（x）在（0，1）上是增函数，f（x）在（0，1）内只有一个零点，
而a_n是函数f（x）=x³+n²x-1（n∈N⁺）的零点，
∴0＜a_n＜1；
（2）先证明左边的不等式，因a_n³+n²a_n-1=0，由（1）知0＜a_n＜1，
∴a

3 n

＜a_n，即1-n²a_n=a

3 n

＜a_n．
∴a_n＞

1

n2+1

，∴a₁+a₂+…+a_n＞

1

12+1

+

1

22+1

+…+

1

n2+1

①
∵a_n＞

1

n2+1

≥

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴a₁+a₂+…+a_n＞1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=

n

n+1

，
再证明右边的不等式，由于f（

1

2

）=(

1

2

)3+

1

2

-1=-

3

8

＜0，f（

3

4

）=

11

64

＞0，
∴

1

2

＜a₁＜

3

4

，
由（1）知，0＜a_n＜1，且a_n³+n²a_n-1=0，
∴a_n=

1- a 2 n

n2

＜

1

n2

，
∵当n≥2时，a₁+a₂+…+a_n＜

3

4

+

1

22

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

=1+

1

2

-

1

n

＜

3

2

，
∴当n∈N^*时，a₁+a₂+…+a_n＜

3

2

，
综上，

n

n+1

＜a1+a2+…+an＜

3

2

．

点评：本小题主要考查零点、函数单调性的应用、数列与函数的综合、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于较难题．