Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）若函数，求函数的单调区间；

（Ⅱ）设直线l为函数的图象上一点处的切线，证明：在区间上存在唯一的，使得直线l与曲线相切并求出此时n的值.（参考数据：）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）增区间和，无减区间；（Ⅱ）证明详见解析，.

【解析】

（Ⅰ）求出函数的定义域，求导函数，确定导数恒大于0，从而可得求函数的单调区间；

（Ⅱ）通过导数的几何意义求出切线的方程为，再设直线与曲线相切于点，进而可得，结合（Ⅰ）中的结论再证明在区间上存在且唯一，计算得出，即可得结果.

（Ⅰ）函数的定义域为，

，.

∵且，∴

∴函数的单调递增区间为和，无减区间.

（Ⅱ）∵，∴，

∴切线的方程为，即，①

设直线与曲线相切于点，

∵，∴，∴，∴.

∴直线也为，即，②

由①②得，∴.

下证：在区间上存在唯一的.

由（Ⅰ）可知，在区间上递增.

又，，

结合零点存在性定理，说明方程必在区间上有唯一的根，且