Question

（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分．

已知函数（）为偶函数．

（1）求常数的值；

（2）当取何值时函数的值最小？并求出的最小值；

（3）设（），试根据实数的取值，讨论函数与的图像的公共点个数．

Answer 1

解：（1）∵为偶函数，故对所有都成立，（2分）即对所有都成立， ．（4分）

（2）由（1）得，  即 ．    （2分）

，故当且仅当时，（3分）的最小值是．（5分）

（3）（理）解法1由方程          （）

可变形为，  由②得或， 

由①得，令，则，或

则．                          （2分）

当时，单调递增，∴，

∴，此时方程（）有且只有一个解；                         （3分）

当时，，

当时方程（）有且只有一个解；                           （4分）

当时，方程（）有两解；

当，或时方程（）无解．                     （5分）

综上所述，当时，函数与的图像有两个不同的公共点；

当或时，函数与的图像有且只有一个公共点；

当或时，函数与的图像没有公共点．   （7分）

解法2：   （）   

            （2分）

           （3分）

      （4分）

                                             （5分）

，，

.                                 （7分）

（文）由方程          （）

可变形为，由②得或，

令，则，或

由①得，设 （2分）

∴当时，， （4分）

当时， ，∴不存在，

当时，或，

若，则，不合题意，舍去，若，则，满足题意，（5分）

∴当或时，函数与的图像有且只有一个公共点.   （7分）