考点:棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的性质,平面与平面垂直的判定
专题:计算题,作图题,证明题,空间位置关系与距离
分析:连结AC,交BD于点O,连结A
1O,EO;
(Ⅰ)证明A
1O⊥BD,BD⊥AC,从而证明BD⊥平面ACEA
1,从而得证;
(Ⅱ)由勾股定理可证得A
1O⊥OE,从而可证A
1O⊥平面EBD,则平面A
1BD⊥平面EBD;
(Ⅲ)V
A1-BDE=
•A
1O•S
△EBD=
×
a×
×2
a×
a,化简即可.
解答:
解:如图,连结AC,交BD于点O,连结A
1O,EO;
(Ⅰ)证明:∵O是BD的中点,A
1D=A
1B;
∴A
1O⊥BD,
又∵BD⊥AC,A
1O∩AC=O,
∴BD⊥平面ACEA
1,
∴A
1E⊥BD;
(Ⅱ)证明:∵A
1O
2=AO
2+A
1A
2=6a
2,
OE
2=OC
2+CE
2=3a
2,
A
1E
2=A
1C
12+C
1E
2=8a
2+a
2=9a
2,
∴A
1O
2+OE
2=A
1E
2,
∴A
1O⊥OE,
又∵BD∩OE=O,
∴A
1O⊥平面EBD;
∴平面A
1BD⊥平面EBD;
(Ⅲ)V
A1-BDE=
•A
1O•S
△EBD=
×
a×
×2
a×
a
=2a
3.
点评:本题考查了空间中直线与平面的位置关系,同时考查了体积的求法,属于中档题.