Question

设不等边三角形ABC的外心与重心分别为M、G，若A（-1，0），B（1，0）且MG∥AB．
（Ⅰ）求三角形ABC顶点C的轨迹方程；
（Ⅱ）设顶点C的轨迹为D，已知直线L过点（0，1）并且与曲线D交于P、N两点，若O为坐标原点，满足OP⊥ON，求直线L的方程．

Answer 1

分析：（I）设C（x，y）（xy≠0），由三角形重心坐标公式得到x=3a，y=3b，再由|MA|=|MC|，得到三角形顶点C的轨迹方程．
（II） 设直线l的方程为 y=kx+1，代入x2+

y2

3

= 1，把根与系数的关系代入由OP⊥ON得到的x₁•x₂+y₁y₂=0 中，求出斜率k，即得直线l的方程．

解答：解：（I）设C（x，y）（xy≠0），∵MG∥AB，可设G（a，b），则M（0，b）．
∴a=

-1+1+x

3

，b=

0+o+y

3

，即  x=3a，y=3b   （1）．  
∵M是不等边三解形ABC的外心，∴|MA|=|MC|，即

1+b2

=

x2+(b-y)2

  （2）．
由（1）（2）得  x2+

y2

3

= 1．所以，三角形顶点C的轨迹方程为  x2+

y2

3

= 1，（xy≠0）．
（II）设直线l的方程为 y=kx+1，P（ x₁，y₁），N （x₂，y₂），
由

y = kx + 1 x2+ y2 3 = 1

  消y得 （3+k²）x²+2kx-2=0．∵直线l与曲线D交于P、N两点，
∴△=b²-4ac=4k²+8（3+k²）＞0，x₁+x₂=-

2k

3+k2

，x₁•x₂=-

2

3+k2

．
∵OP⊥ON，∴x₁•x₂+y₁y₂=0，∴x₁•x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=0．
∴1+k²（-

2

3+k2

）+k （-

2k

3+k2

）+1=0，∴k=±

3

3

，
∴直线l的方程为 y=±

3

3

 x+1．

点评：本题考查三角形重心坐标公式，一元二次方程根与系数的关系，两直线垂直的性质，求直线l的斜率是解题的难点．