Question

如图所示，F是抛物线x²=2py（p＞0）的焦点，点R（1，4）为抛物线内一定点，点Q为抛物线上一动点，|QR|+|QF|的最小值为5．
（1）求抛物线方程；
（2）已知过点P（0，-1）的直线l与抛物线x²=2py（p＞0）相交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，l₁、l₂分别是该抛物线在A、B两点处的切线，M、N分别是l₁、l₂与直线y=-1的交点．求直线l的斜率的取值范围并证明|PM|=|PN|．

Answer 1

分析：（1）利用抛物线的定义，结合|QR|+|QF|的最小值为5，建立方程，即可求得抛物线的方程；
（2）设直线l的方程与抛物线方程联立，确定k的范围，求出抛物线在A、B处的切线方程，令y=-1，可得M、N的横坐标，利用韦达定理，可得横坐标互为相反数，从而可得结论．

解答：（1）解：设抛物线的准线为QQ'⊥l于Q'，过Q作QQ'⊥l于Q'，过R作RR'⊥l于R'，由抛物线定义知|QF|=|QQ'|，…（1分）
∴|QR|+|QF|=|QR|+|QQ'|≥|RR'|（折线段大于垂线段），当且仅当R、Q、R'三点共线取等号．…（3分）
由题意知|RR′|=5，
∴4+

p

2

=5，
∴p=2，故抛物线的方程为：x²=4y…（5分）
（2）证明：由已知条件可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l：y=kx-1，…（6分）
则

y=kx-1 x2=4y

，∴x²-4ky+4=0，…①…（7分）
依题意，有△=16k²-16＞0，∴k＜-1或k＞1；…（8分）
由x²=4y，∴y=

1

4

x2，∴y′=

1

2

x，…（9分）
所以抛物线在A处的切线l₁的方程为：y-

1

4

x

2 1

=

1

2

x1(x-x1)，即y=

1

2

x1x-

1

4

x

2 1

．…（10分）
令y=-1，得xM=

x 2 1 -4

2x1

．…（11分）     
同理，得xN=

x 2 2 -4

2x2

．…（12分）
注意到x₁、x₂是方程①的两个实根，故x₁x₂=4，即x2=

4

x1

，…（13分）
从而有xN=

x 2 2 -4

2x2

=

( 4 x1 )2-4

8 x1

=

4- x 2 1

2x1

=-xM，
因此，|PM|=|PN|．…（14分）

点评：本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．