Question

如图，四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A₁O⊥平面ABCD，AB＝AA₁＝.

(1)证明：A₁C⊥平面BB₁D₁D；
(2)求平面OCB₁与平面BB₁D₁D的夹角θ的大小．

Answer 1

（1）见解析  （2）

(1)证明　法一：由题设易知OA，OB，OA₁两两垂直，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系．

∵AB＝AA₁＝，
∴OA＝OB＝OA₁＝1，
∴A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(－1,0,0)，D(0，－1,0)，A₁(0,0,1)．
由＝，易得B₁(－1,1,1)．
∵＝(－1,0，－1)，＝(0，－2,0)，＝(－1,0,1)，
∴·＝0，·＝0，
∴A₁C⊥BD，A₁C⊥BB₁，
又BD∩BB₁＝B，A₁C?平面BB₁D₁D，
∴A₁C⊥平面BB₁D₁D.
法二：∵A₁O⊥平面ABCD，∴A₁O⊥BD.
又∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A₁OC，∴BD⊥A₁C.
又OA₁是AC的中垂线，∴A₁A＝A₁C＝，且AC＝2，
∴AC²＝＋A₁C²，
∴△AA₁C是直角三角形，∴AA₁⊥A₁C.
又BB₁∥AA₁，∴A₁C⊥BB₁，
∴A₁C⊥平面BB₁D₁D.
(2)设平面OCB₁的法向量n＝(x，y，z)．
∵＝(－1,0,0)，＝(－1,1,1)，
∴
∴
取n＝(0,1，－1)，由(1)知，＝(－1,0，－1)是平面BB₁D₁D的法向量，
∴cos θ＝|cos〈n，〉|＝＝.
又∵0≤θ≤，∴θ＝.