分析 (1)通过an+1=$\frac{1}{2}{S}_{n}(n=1,2,3…)$与an=$\frac{1}{2}$Sn-1(n≥2)作差,整理可知数列{an}是首项为1、公比为$\frac{3}{2}$的等比数列,进而计算可得结论;
(2)通过(1)裂项可知$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n+lo{g}_{\frac{3}{2}}3}$-$\frac{1}{n+1+lo{g}_{\frac{3}{2}}3}$,进而并项相加即得结论.
解答 解:(1)∵an+1=$\frac{1}{2}{S}_{n}(n=1,2,3…)$,an=$\frac{1}{2}$Sn-1(n≥2),
∴an+1-an=$\frac{1}{2}$an,即an+1=$\frac{3}{2}$an,
又∵a1=1,
∴数列{an}是首项为1、公比为$\frac{3}{2}$的等比数列,
∴数列{an}的通项公式an=$\frac{{3}^{n-1}}{{2}^{n-1}}$;
(2)由(1)可知bn=log$\frac{3}{2}$(3an+1)=log$\frac{3}{2}$($\frac{{3}^{n+1}}{{2}^{n}}$)=n+$lo{g}_{\frac{3}{2}}3$,
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{(n+lo{g}_{\frac{3}{2}}3)(n+1+lo{g}_{\frac{3}{2}}+3)}$=$\frac{1}{n+lo{g}_{\frac{3}{2}}3}$-$\frac{1}{n+1+lo{g}_{\frac{3}{2}}3}$,
∴Tn=$\frac{1}{1+lo{g}_{\frac{3}{2}}3}$-$\frac{1}{2+lo{g}_{\frac{3}{2}}3}$+…+$\frac{1}{n+lo{g}_{\frac{3}{2}}3}$-$\frac{1}{n+1+lo{g}_{\frac{3}{2}}3}$
=$\frac{1}{1+lo{g}_{\frac{3}{2}}3}$-$\frac{1}{n+1+lo{g}_{\frac{3}{2}}3}$.
点评 本题考查数列的通项及前n项和,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (-∞,-1)∪(4,+∞) | B. | (-1,4) | C. | (-∞,-4)∪(1,+∞) | D. | (-4,1) |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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