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在平面直角坐标系xOy中,设不等式组
-1≤x≤2
0≤y≤2
所表示的平面区域是W,从区域W中随机取点M(x,y).
(Ⅰ)若x,y∈Z,求点M位于第一象限的概率;
(Ⅱ)若x,y∈R,求|OM|≤2的概率.
分析:(Ⅰ)①做出所示平面区域②画网格描整点,找出整数点坐标个数,再找出第一象限中的点个数.二者做除法即可算出概率(Ⅱ)这是一个几何概率模型.算出图中以(0,0)圆心2为半径的圆的阴影面积,再除以平面区域矩形ABCD面积,即可求出概率.
解答:精英家教网解:(Ⅰ)若x,y∈Z,则点M的个数共有12个,列举如下:
(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2).
当点M的坐标为(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)时,点M位于第一象限,故点M位于第一象限的概率为
1
3

(Ⅱ)这是一个几何概率模型.
如图,若x,y∈R,则区域W的面积是3×2=6.
满足|OM|≤2的点M构成的区域为{(x,y)|-1≤x≤2,0≤y≤2,x2+y2≤4},即图中的阴影部分,易知E(-1,
3
)
,∠EOA=60°,
所以扇形BOE的面积是
3
,△EAO的面积是
3
2

故|OM|≤2的概率为
3
+
3
2
6
=
8π+3
3
36
点评:本题考查几何概率问题和简单线性规划问题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

在平面直角坐标系xoy中,已知圆心在直线y=x+4上,半径为2
2
的圆C经过坐标原点O,椭圆
x2
a2
+
y2
9
=1(a>0)
与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
(1)求圆C的方程;
(2)若F为椭圆的右焦点,点P在圆C上,且满足PF=4,求点P的坐标.

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如图,在平面直角坐标系xOy中,锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A,B两点.若点A的横坐标是
3
5
,点B的纵坐标是
12
13
,则sin(α+β)的值是
16
65
16
65

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科目:高中数学 来源: 题型:

在平面直角坐标系xOy中,若焦点在x轴的椭圆
x2
m
+
y2
3
=1
的离心率为
1
2
,则m的值为
4
4

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(2013•泰州三模)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,已知A(0,1),B(0,-1),C(t,0),D(
3t
,0)
,其中t≠0.设直线AC与BD的交点为P,求动点P的轨迹的参数方程(以t为参数)及普通方程.

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(2013•东莞一模)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦点为F1(-1,0),且椭圆C的离心率e=
1
2

(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C的上下顶点分别为A1,A2,Q是椭圆C上异于A1,A2的任一点,直线QA1,QA2分别交x轴于点S,T,证明:|OS|•|OT|为定值,并求出该定值;
(3)在椭圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=2与圆O:x2+y2=
16
7
相交于不同的两点A、B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由.

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