Question

已知C_n⁰+2C_n¹+2²C_n²+…+2ⁿC_nⁿ=81，则C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ=

16

．

Answer 1

分析：由二项式定理可得，C_n⁰+2C_n¹+2²C_n²+…+2ⁿC_nⁿ=（1+2）ⁿ，结合题意3ⁿ=81，解可得n=4；将n=4代入C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ中，由二项式系数的性质，计算可得答案．

解答：解：由二项式定理可得，C_n⁰+2C_n¹+2²C_n²+…+2ⁿC_nⁿ=（1+2）ⁿ=81，即3ⁿ=81，解可得n=4；
若n=4，则C₄⁰+C₄¹+C₄²+…+C₄⁴=2⁴=16；
故答案为16．

点评：本题考查二项式定理以及二项式系数的性质，要灵活运用二项式定理，发现C_n⁰+2C_n¹+2²C_n²+…+2ⁿC_nⁿ=（1+2）ⁿ是解题的关键．