分析 (1)根据函数的最值以及相邻两条对称轴之间的距离是$\frac{π}{2}$,确定A,ω和φ的值即可得到结论.
(2)根据三角函数的单调性即可得到结论.
(3)根据三角函数的性质解不等式即可.
解答 解:(1)∵函数的最大值3,最小值为-1,则A+b=3且-A+b=-1,解得A=2,b=1,
图象相邻两条对称轴之间的距离是$\frac{π}{2}$.
即函数的周期T=2×$\frac{π}{2}$=π,即$\frac{2π}{ω}$=π,则ω=2,
即f(x)=2sin(2x-$\frac{π}{6}$)+1.
(2)由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$,k∈Z,
即kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$,k∈Z,
即函数的单调递减区间为[kπ+$\frac{π}{3}$,kπ+$\frac{5π}{6}$],k∈Z.
(3)∵α∈(0,$\frac{π}{2}$),f($\frac{α}{2}$)>2,
∴f($\frac{α}{2}$)=2sin(α-$\frac{π}{6}$)+1>2,
即2sin(α-$\frac{π}{6}$)>1,即sin(α-$\frac{π}{6}$)>$\frac{1}{2}$,
即2kπ+$\frac{π}{6}$<α-$\frac{π}{6}$<2kπ+$\frac{5π}{6}$,k∈Z,
即2kπ+$\frac{π}{3}$<α<2kπ+π,k∈Z,
∵α∈(0,$\frac{π}{2}$),
∴当k=0时,$\frac{π}{3}$<α<π,此时$\frac{π}{3}$<α<$\frac{π}{2}$,
即α的取值范围是($\frac{π}{3}$,$\frac{π}{2}$).
点评 本题主要考查三角函数解析式的求解,以及三角函数的图象和性质,根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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