Question

（选做题）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4-1：几何证明选讲]
已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与点A，C重合），延长BD至点E．
求证：AD的延长线平分∠CDE
B．[选修4-2：矩阵与变换]
已知矩阵A=

1 2 -1 4

（1）求A的逆矩阵A^-1；
（2）求A的特征值和特征向量．
C．[选修4-4：坐标系与参数方程]
已知曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为

x= 1 2 t y= 3 2 t+1

（t为参数），求直线l被曲线C截得的线段长度．
D．[选修4-5，不等式选讲]（本小题满分10分）
设a，b，c均为正实数，求证：

1

2a

+

1

2b

+

1

2c

≥

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

．

Answer 1

分析：A．要证AD 的延长线平分∠CDE，即证∠EDF=∠CDF，根据A，B，C，D 四点共圆，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，从而得解．
B．（1）根据所给的矩阵求这个矩阵的逆矩阵，可以首先求出ad-bc的值，再代入逆矩阵的公式，求出结果．
（2）先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．
C．曲线C为：x²+y²-4y=0，圆心（0，2），半径为2，由此能求出直线被曲线C载得的线段长度．
D．对左边变形

1

2

（

1

2a

+

1

2b

）+

1

2

（

1

2b

+

1

2c

）+

1

2

（

1

2c

+

1

2a

）后两项应用基本不等式，得到三个不等式后相加即得．

解答：解：A：设F为AD 延长线上一点，
∵A，B，C，D 四点共圆，∴∠ABC=∠CDF，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，
∵对顶角∠EDF=∠ADB，∴∠EDF=∠CDF，
故AD的延长线平分∠CDE．
B：解：（1）ad-bc=4+2=6，
A^-1=

d ad-bc -b ad-bc -c ad-bc a ad-bc

=

2 3 - 1 3 1 6 1 6

，
∴A-1=

2 3 - 1 3 1 6 1 6

．
（2）矩阵A的特征多项式为f（λ）=

.

λ-1 -2 1 λ-4

.

=λ²-5λ+6，
令f（λ）=0，得λ₁=2，λ₂=3，
当λ₁=2时，得

a1

=

2 1

，当λ₂=3时，得

a2

=

1 1

．
所以矩阵A属于特征值2的一个特征向量为

2 1

，
矩阵M属于特征值3的一个特征向量为

1 1

．
C：曲线C为：x²+y²-4y=0，圆心（0，2），半径为2，
直线l为：

3

x-y+1=0，圆心到直线的距离为：d=

|-2+1|

2

=

1

2

直线被曲线C载得的线段长度为：2

4- 1 4

=

17

．
D：证明：∵a、b、c均为实数，
∴

1

2

（

1

2a

+

1

2b

）≥

1

2 ab

≥

1

a+b

，当a=b时等号成立；

1

2

（

1

2b

+

1

2c

）≥

1

2 bc

≥

1

b+c

，
当b=c时等号成立；

1

2

（

1

2c

+

1

2a

）≥

1

2 ca

≥

1

c+a

．
三个不等式相加即得

1

2a

+

1

2b

+

1

2c

≥

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

，
当且仅当a=b=c时等号成立．

点评：A考查直线与圆的位置关系，B考查逆矩阵的求法和矩阵的特征值和特征向量的求法，C考查极坐标标方程和参数方程的应用，D考查不等式的证明．都是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．