Question

设f（x）=x³+3ax²+（3-6a）x+12a-4（a∈R），若f（x）在x=x₀处取得极小值，x₀∈（1，3），求a的取值范围．

Answer 1

分析：求导函数，利用f（x）在x=x₀处取得极小值，x₀∈（1，3），建立不等式，即可求a的取值范围．

解答：解：求导函数可得f'（x）=x²+2ax-1-2a，由f'（x）=0得x²+2ax-1-2a=0
（i）当-

2

-1≤a≤

2

-1时，f（x）没有极小值；
（ii）当a＞

2

-1或a＜-

2

-1时，由f'（x）=0得x1=-a-

a2+2a-1

，x2=-a+

a2+2a-1

故x₀=x₂．
由题设知1＜-a+

a2+2a-1

＜3，
当a＞

2

-1时，不等式1＜-a+

a2+2a-1

＜3无解；
当a＜-

2

-1时，解不等式1＜-a+

a2+2a-1

＜3得-

5

2

＜a＜-

2

-1
综合（i）（ii）得a的取值范围是(-

5

2

，-

2

-1)．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查解不等式，确定极值点是关键．