Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，将椭圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得曲线C，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

已知点且直线l与曲线C交于A、B两点，求的值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

设为椭圆上的点，在已知变换下变为C上点，依题意，得由此能求出曲线C的普通方程；由直线l的极坐标方程，能求出直线l的直角坐标方程；

求出直线l的参数方程并代入，得：，结合，求解即可。

将椭圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得曲线C，

设为椭圆上的点，在已知变换下变为C上点，

依题意，得．

由，得，

曲线C的普通方程为．

直线l的极坐标方程为．

直线l的直角坐标方程为．

点且直线l与曲线C交于A、B两点，在直线l上，

把直线l的参数方程代入，得：，

则，．

．