Question

设函数（a为常数），且f（x）在[1，2]上单调递减．
（1）求实数a的取值范围；
（2）当a取得最大值时，关于x的方程f（x）=x²-7x-m有3个不同的根，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求函数的导函数f'（x），再将“f（x）在[1，2]上单调递减”等价转化为f'（x）≤0在[1，2]恒成立问题，最后将恒成立问题转化为求函数最值问题，即可得实数a的取值范围
（2）由（1）得a=2，先将“方程f（x）=x²-7x-m有3个不同的根”，转化为有3个不同根，再转化为函数有三个零点问题，然后利用导数研究函数g（x）的单调性和极值，利用函数性质列关于m的不等式，即可解得m的范围
解答：解：（1）依题意得：f'（x）=-x²+2ax-2a∵f（x）在[1，2]上单调递减
∴f'（x）=-x²+2ax-2a≤0在[1，2]恒成立
即：当x=1时，a∈R当x≠1时，在（1，2]恒成立
记则g_min（x）=4
∴只须a≤2
综上，a≤2
（2）当a=2时，方程f（x）=x²-7x-m有3个不同根等价于有3个不同根
记则g'（x）=x²-2x-3
令g'（x）＞0得x＜-1或x＞3令g'（x）＜0得-1＜x＜3
∴g（x）在（-∞，-1），（3，+∞）递增，在（-1，3）递减
∴g_极小（x）=g（3）=-7-m
要使有3个不同根
只须
得
点评：本题综合考察了导数在函数单调性中的应用，导数在函数零点存在性和零点个数中的应用，不等式恒成立问题的解决方法