Question

已知集合A={a₁，a₂，a₃，a₄}，B={0，1，2，3}，f是从A到B的映射．
（1）若B中每一元素都有原象，这样不同的f有多少个？
（2）若B中的元素0必无原象，这样的f有多少个？
（3）若f满足f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+f（a₄）=4，这样的f又有多少个？

Answer 1

分析：（1）显然对应是一一对应的，即为a₁找象有4种方法，a₂找象有3种方法，a₃找象有2种方法，a₄找象有1种方法，最后利用乘法原理即可求得不同的f有多少个；
（2）分析可知：0必无原象，1，2，3有无原象不限，所以为A中每一元素找象时都有3种方法．利用乘法原理即可求得不同的f有多少个；
（3）先进行分类讨论：第一类，A中每一元素都与1对应，有1种方法；第二类，A中有两个元素对应1，一个元素对应2，另一个元素与0对应，有12种方法；第三类，A中有两个元素对应2，另两个元素对应0，有6种方法；第四类，A中有一个元素对应1，一个元素对应3，另两个元素与0对应，有12种方法．利用加法原理即可求得不同的f有多少个；

解答：解：（1）显然对应是一一对应的，即为a₁找象有4种方法，a₂找象有3种方法，a₃找象有2种方法，a₄找象有1种方法，所以不同的f共有4×3×2×1=24（个）．
（2）0必无原象，1，2，3有无原象不限，所以为A中每一元素找象时都有3种方法．所以不同的f共有3⁴=81（个）．
（3）分为如下四类：
第一类，A中每一元素都与1对应，有1种方法；
第二类，A中有两个元素对应1，一个元素对应2，另一个元素与0对应，有12种方法；
第三类，A中有两个元素对应2，另两个元素对应0，有6种方法；
第四类，A中有一个元素对应1，一个元素对应3，另两个元素与0对应，有12种方法．
所以不同的f共有1+12+6+12=31（个）．

点评：本题考查映射的定义，像与原像的定义，让学生不仅会求指定元素象与原象，而且明确求象与原象的方法．